Viden om - tal

- er at kunne bruge matematik i praksis (men også at lege med talteori - ligninger - geometri - topologi)

Børn i 5-6-7 års alderen må lære matematik på en sådan måde, at deres begreber om matematik omfatter både konkret, funktionel og abstrakt viden om omverdenens matematiske indhold. Det skal give dem mulighed for at udtrykke denne viden gennem såvel handlinger som billeder og sprog. Sprog er i den forbindelse også matematikkens sprog – at kunne forklare sig om matematiske begreber.

Børnene skal derved lære at løse såvel konkrete, praktiske matematiske problemer i hverdagen som abstrakte, teoretiske matematiske opgaver. Det er dog vigtigt, at lege- og læreprocesserne er i nøje overensstemmelse med børnenes iboende, psykologiske og sociale muligheder for begrebs- og symboludvikling. Det betyder, at legene og aktiviteterne skal være naturlige og konkrete for børnene – hvilket desuden vil motivere og inspirere dem yderligere. Selv helt små børn (fra 4-5 år alderen) må opleve, at de lærer matematik ved hjælp af lege og aktiviteter, der “siger dem noget” – at det er spændende, kreativt udfordrende, sjovt og at man kan se en form for resultat.

Børn får viden og lærer at blive tal-kloge, - når de leger at de er bygmestre, bygningskonstruktører, detektiver, landskabs- og indretningsarkitekter, revisorer, naturforskere og naturvidenskabskvinder og mænd. Desuden ved at lege med alle mulige former for konstruktionslegetøj, forskellige geometriske klodser, tal, mængde- og mosaikspil m.m.

Tal-klog - er det barn, der kan benytte forskellige matematiske begreber og systemer i praksis, især indenfor tal, mål, ligning, geometri, topologi og almen intuitiv problemløsning. Barnet kan forstå, forklare og løse både konkrete, funktionelle og abstrakte problemer ved hjælp af matematik, foruden at kunne gennemskue abstrakte mønstre og beregne sandsynligheder og muligheder.

 

Tal og mængde

En mængde kan være mange ting – bunke, stabel, antal, stime, flok, portion og

forsamling. Vi benytter os af at fortælle i ord om mængdens større – f.eks. en større mængde – og i tal ved at fastslå hvor mange ting, enheder eller elementer, der er i den pågældende mængde – f.eks. fugleflokken er på 10 fugle, en lille flok fugle. Tal er betegnelsen for de naturlige, hele og positive grundtal (kardinaltal) som 1, 2, 3, o.s.v. – og talrækken er desuden udvidet med et 0.

For børnene i 5-7 års alderen begynder erkendelsen af mængde- og antalsbegrebet med, at enhver mængde eller ethvert tal kan defineres ved summen af mængdens eller antallets elementer.

Dette er grundlaget for erkendelse af tallenes indhold:

1. det samme som deres reference til mængdens størrelse –
2. det samme som elementantal
3. det samme som grundtal – eller kardinaltal.

Men vigtigst af alt – barnet må gerne fortælle historier om alle de ting, de leger og regner med. Historierne om tingene er begyndelsen til, at barnet lærer at forklare, hvad der sker, når man leger og regner med mængde, og tal.

 

Rumlige forhold

Alle rum begynder med en flade, da alle rum har en bund, en grundflade med en

bestemt udstrækning. Siderne giver rummet højde. Sider kan stå lige eller skrå.

Måske er der låg eller tag på rummet, men mange gange er rummet åbent for oven. Men udgangspunktet for et rum er altid fladen.

Fladebegrebet er det 2-dimensionale begreb. En flade fylder mere end en streg. Børn i 5-7 års alderen oplever en flade som en “ikke-streg”. Men hvis barnet tilfældigvis kender det pågældende objekt i forvejen, så vil det blot opfatte “flade” som en konkret ting: bog, tallerken, bord, plade o.s.v.

I disse tilfælde vil det 2-dimensionale begreb slet ikke være dannet. Først når barnet for sit indre ser billedsymboler, som viser flader, begynder barnet at forstå det 2-dimensionale begreb - at en flade er en enhed, der er afgrænset af linjer - men som også kan være afgrænset af kanter. Det gælder også runde eller ovale flader.

Selve begrebet rum er for barnet meget konkret, men meget svært at begribe abstrakt, billedmæssigt, sprogligt og matematisk

Som tidligere nævnt leger barnet med rumlige figurer - små og større kasser – og kan derfor på billeder – udefra - sagtens genkende og forstå forskellen mellem flader og rumfigurer - men i praksis er det for barnet meget vanskeligt at forestille sig, hvordan en rumfigur ser ud indefra – fra den modsatte side af hvor barnet normalt og altid ser kassen, nemlig udefra.

Barnet kan ikke udregne den rumlige figurs enhed indefra. Det skyldes, at barnet ikke får erfaring med linjer og flader indefra. Den bedste øvelse til erkendelse heraf er at lege med opmåling af en kasse – både udefra og indefra – for at erkende, at målene er ens – stort set kun begrænset af væggenes tykkelse, som kan fraregnes.

 

Matematiske størrelser

En størrelse kan være højde, længde, tykkelse, udstrækning, vidde, omfang, rumfang og volumen, samt lydstyrke, - men også format, tykkelse, kaliber, - foruden grad, og kvalitet. Størrelse er et udtryk for reelle tal eller værdier, der kan måles ved sådanne, - men bruges også om uendelige eller imaginære tal.

(Størrelsesorden er et tals omtrentlige størrelse, som regel angivet ved nærmeste potens af 10 – eksempelvis er 900 størrelsesorden ti i tredje (10³)).

Det er både sjovt og dejligt at lege med forskellige farver, f.eks. at ordne farver efter tone eller lyshed, børn efter højde, klodser efter størrelse, tal efter størrelse - som er rækkefølge og ordinaltal (ordenstal – den første, den anden o.s.v.).

Men det kræver en sansemæssig opmærksomhed for forskelle - og at relationsbegrebet er dannet - hvis barnet skal kunne se forholdet og forbindelsen mellem farve, højde, størrelse o.s.v.

Er et barn ikke så langt i sin udvikling (ca. 6-7 år), er det nødvendigt stadig at lege alle disse ordningslege, så barnet langsomt får opmærksomheden rette hen imod, at det er forholdet og relationerne mellem farvernes tone, børnenes højde, klodsernes størrelse m.m., der er det spændende og interessante.

Barnet skal have dannet et “relationsbegreb” gennem leg, for at forstå begrebet “ordning”.

 

Sandsynligheder

Sandsynlighed er det rimelige i den mulighed, man gætter på vil blive det antagelige og acceptable resultat.

Sandsynlighed er også en matematisk disciplin – sandsynlighedsregning – der omhandler mulighederne for, at en proces kan have et rimeligt forløb.

Sandsynligheden bliver almindeligvis angivet med et tal mellem 0 og 1.

Kaster man f.eks. en terning, er sandsynligheden for at få et bestemt antal øjne 1/6 – ved tilstrækkelig mange kast viser det sig, at hver side vender op meget nær 1/6 af gangene.

Det er pragtfuldt at lege med begrebet sandsynlighed – og det er endnu mere utroligt at opleve begrebet. Det er ligesom at lege med at forudsige et eller andet, som slet ikke er givet på forhånd. Man kan lege med at forudsige, - hvor mange børn der kommer i børnehave på mandag – hvor mange æbler børnene har med i deres madpakker – hvor mange legoklodser der er i en bestemt kasse – hvor mange gule – blå o.s.v.

Når man leger med sandsynligheder er det vigtigt, at man har nogle konkrete oplysninger på forhånd (f.eks. at der er 60 børn i børnehaven – 100 legoklodser i den hvide kasse o.s.v.). Disse oplysninger skal anvendes i selv legen, da den går ud på at gætte sandsynligheden.

 

Ligheder og forskelle

Lighed er ensartethed, overensstemmelse, at noget er analogt til eller er parallelt med noget andet. Forskel er uens, ulige og divergerende – og derfor afvigende fra det der sammenlignes med selv om vi først troede det drejede sig om det samme.

Når vi således sammenligner forskellige ting, støder vi på det problem, at hverken de mange forskelle eller ligheder er ens, men endda meget forskellige. Barnet i 6-7 års alderen vil prøve på at snakke sig frem til hvorfor der er ligheder og forskelle, ved at benytte begreberne større end og mindre end om alle ting.

Er tingene imidlertid fuldstændig ens, kan man sætte lighedstegn, som angiver at der er fuldstændig overensstemmelse (kongruens) mellem det der står før og efter tegnet. Lighedstegnet er også et abstrakt symbol.

Det er meget vigtigt, at børn bliver vist ulighedstegnet ved konkrete handlinger og med anvendelse af et bevægeligt ulighedstegn. Barnet opfinder selv lighedstegnet ved at sætte ulighedstegnet parallelt. Når det har gjort det nogle gange, er der ingen forståelses- eller hukommelsesproblemer med at vende tegnet rigtigt.

Der skal derfor være konkrete handlinger – og naturligvis altid leg - bag læringen af ulighedstegnet.

 

Kategoriseringer

En kategori er en hovedklasse, art eller slags – men kan også være et grundbegreb, grundelement eller grundsynspunkt.

En kategori er også grupper af genstande – og en kategori er egenskaber ved genstande og ting.

Kategorisering og ordning af forskellige objekter i klasser er udgangspunktet for at lære og forstå systematik og orden. Ordning af objekter i klasser gør at barnet kan se og forstå at et objekt, en genstand eller ting ikke samtidig kan være medlem af 2 klasser – og at medlemmerne af en klasse har nogle fælles karakteristika, som definerer klassen.

En klasse kan også beskrives ved en liste over “medlemmerne” – og at de indlysende og definerede kendetegn og karakteristika afgør, hvilke objekter der indgår i klassen.

Børn begynder meget tidligt at lege med og øve sig i kategorisering og ordning. Det har været væsentligt for menneskehedens overlevelse at kunne kategorisere det farlige fra det ufarlige, det væsentlige fra det uvæsentlige – og det ene objekt, en ting eller en genstand fra det andet. I gamle dage legede børnene med ting som f.eks. knapper, mønter, frø, frugter, blade, selvgjorte tegnede kort og papirstykker.

I dag finder der eksempelvis både interessante og komplicerede spil, puslespil og computerspil, der gennem leg fremmer børnene læring af relationer, ordninger og kategorier.

 

Rækkefølge

Rækkefølge er når tal, objekter eller andre genstande er på linje, følger efter hinanden i orden – men kan også være en stribe, serie, samling eller et sæt.

I matematik er en række en sum af endelig eller uendelig mange led – benævnes konvergent og divergent.

I biologi er en række en overordnet gruppe, der omfatter flere klasser ordnet efter rang, eksempelvis hvirveldyrene.

Når børnene leger, stiller de mange gange legetøjet op på række og geled.

Byggeklodser bliver af børnene ubevidst samlet i grupper eller sæt. Er klodserne ens af udseende, bliver de stillet op på en stribe efter hinanden.

Det er i disse lege med klodser af forskellig slags, at børnene får grundlaget for at kunne tilegne sig og forstå de to altafgørende begreber – kardinaltalsbegrebet (grund- og mængdetal) og ordinaltalsbegrebet (den første, den anden o.s.v.) (se også mængde og tal) – og herved senere igen mængdebegrebet og elementernes plads i en rækkefølge. Det drejer sig om rækkefølge og mængde, så når børnene bare har lært tallenes navne, deres værdi og plads i systemet, har de allerede tilegnet sig 2 begreber.

Det er muligt til enhver tid at snakke med børnene om gruppestørrelser, da der overalt i omgivelserne er grupper af forskellig slags. I den snak er det vigtigt hele tiden at anvende så mange forskellige udtryk som muligt – f.eks. større end/mindre end, lige store, størst/mindst, flest/færrest, lige mange, størst, næststørst o.s.v.

I legen og snakken om grupper af alle slags er det derfor vigtigt, at grupperne er af uens størrelse, så der opstår så mange forskelle som muligt.

Jo mere konkrete grupper er, desto nemmere lære børnene begreberne.

 

Tid og tidsintervaller

Tid måles astronomisk ved en regelmæssigt tilbagevendende begivenhed efter solens og dermed stjernehimlens daglige bevægelser.

Registreringen af tid, selve tidsbegrebet, er dobbelt – den digitale tid og den analoge tid. Et tidsinterval er afstanden mellem to tider, målt i forbindelse med, at noget er i bevægelse.

Oplevelse af fysisk tid varierer meget, afhængigt af fysiologiske og psykologiske forhold. Det er konstateret, at den ændres ved skiftende temperaturer i omgivelserne og ved indtagelse af rusmidler. Psykisk er det velkendt, at det at vente på nogen “gør tiden længere”, mens det modsatte er tilfældet ved lystbetonet syslen, “tiden flyver af sted”.

Tidsbegrebet er meget svært for børn at forstå. Der er ingen naturlig sammenhæng mellem et barns aktivitet, opfattelse af den tid, der er gået, og den reelle tid, sådan som den måles med det vedtagne tidssystem. Med indførelsen af digital tid, er børns forståelse af det analoge tidsbegreb blevet besværliggjort og forsinket – for det kræver talkendskab at forstå digital tid og det gør forståelsen af selve tidsbegrebet abstrakt.

Forud for aflæsning af tid på ure - nedskrivning af klokkeslæt og regning med tid - må der derfor ske en direkte indlæring af tidsbegrebets karakteristika, som er:

- forskel mellem analog og digital tid

- tid som rytme

- forløb

- interval og bevægelsesbegrebet - om objekters konstans under bevægelse

- tid i forhold til aktivitet og passivitet (tiden står stille eller den flyver af sted)

- forskellen mellem at “være i tid” og “forbruge tid/tidsforbrug”.

Da børn indtil 6-7 års alderen tænker helt konkret og derfor altid er bundet fuldstændigt af det der foregår, kan legen med og læringen af tid og tidsintervaller for mange børn godt forekomme svær.

 

Højdeforskelle

Højde er afstanden fra en trekants toppunkt til dens grundlinje – afstanden fra en pyramides eller kegles toppunkt til dens grundflade – afstanden mellem to parallelle flader i et legeme – vinkelen mellem et himmellegeme og horisontens plan.

På et landkort er der en kurve (ækvidistant kurve), som går gennem de punkter i terrænet, der har samme højde.

Det er vanskeligt for et barn at erkende og vurdere højde. Højden bedømmer barnet konkret fra et punkt, som er stedet hvor det selv står - så rent logisk er det meget høje træ, som står langt væk, tilsyneladende ikke nær så højt som det træ, som er lige ved siden af barnet. Modsat dette at opfatte rum i erkendelse af 3 dimensioner, bliver erkendelse af en højde på eksempelvis et træ erkendt i forhold til omgivelserne. Herved kommer afstanden nemt til at snyde barnet i dets logiske vurdering af højder. Det er muligt til enhver tid at snakke med børnene om højde og højdeforskelle, da børnene overalt i omgivelserne ser og bemærker højden på mennesker og objekter.

I denne snak er det vigtigt hele tiden at anvende så mange forskellige udtryk som muligt – f.eks. højere end/lavere end, lige høje, højest/lavest, højest, næsthøjest o.s.v.

 

Tyngde - vægt

Vægt er en anden betegnelse for tyngde – vægt er den kraft, hvormed legemer tiltrækker hinanden. En vægt er et vejeredskab – og der findes mange forskelle typer – skålvægte, fjedervægte, bismer, decimalvægte m.m.

Moderne vægte angiver vægt i digital tal.

Børnene skal lære at forstå følgende 4 ting, – at skelne mellem let og tung - at der ikke nødvendigvis er sammenhæng mellem objekters omfang og deres vægt – at lege med vejning på mange forskellige måder – at sætte mål på en vejning. Børn i 6-7 års alderen har almindeligvis en klar fornemmelse af begreber som let og tung. De har naturligvis leget med en vippe. Vippen er en vægtstang i balance, hvilket betyder, at bjælken med to børn i en lige og vandret position angiver, at børnene må veje lige meget. At vippe giver derfor børn den første anskuelige fornemmelse for vægt og tyngde. Legen med skålvægten og den gammeldags bage vægt er spændende. Børnene vil ofte være mere interesseret i at eksperimentere med balance og ligevægt – end i hvad tings og objekters præcise vægt er i forhold til vægtlodder.